Mais qu'entend-on exactement par étude de fonction ? Il s'agit de décrire précisément son signe (positif ou négatif) et ses variations (croissante ou décroissante).
Pour étudier nos fonctions dans ce chapitre, on ne se contentera pas de l'observation de la courbe représentative
Rappels sur les fonctions affines, carré, racine carré, cube, etc.
Rappels sur les fonctions sinus et cosinus...
:
-
Calculer $f'(1)$. Pour ça, on commence par calculer le taux de variation de la fonction carré entre $1$ et $1+h$ :
$$
\begin{array}{lll}
& &\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\
& = &\frac{(1+h)^2-1^2}{h} \\
& = &\frac{(1^2+2\times 1 \times h+h^2)-1^2}{h} \\
& = &\frac{2h+h^2}{h} \\
& = & 2+h
\end{array}
$$
Pour obtenir le nombre dérivé en $1$, on fait tendre $h$ vers 0 :
$$f'(1) = 2+0 = 2$$
-
Pour calculer $f'(a)$ pour tout réel $a$, le raisonnement est le même. On calcule le taux de variation de la fonction carré entre $a$ et $a+h$ :
$$
\begin{array}{lll}
& &\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\
& = &\frac{(a+h)^2-a^2}{h} \\
& = &\frac{(a^2+2 a h+h^2)-1^2}{h} \\
& = &\frac{2ah+h^2}{h} \\
& = & 2a+h
\end{array}
$$
Pour obtenir le nombre dérivé en $a$, on fait tendre $h$ vers 0 :
$$
f'(a) = 2a+0 = 2a
$$
Pour tout $a$ réel
- La fonction racine définie sur $[0;+\infty[$ $f(x)=\sqrt{x}$ n'admet pas de nombre dérivé en $0$ car sa tangente y est verticale
- La fonction valeur absolue définie sur $\mathbb{R}$ $f(x)=|x|$ n'admet pas de tangente en $x=0$, donc pas de nombre dérivé en $0$.
sqrt(x) pour $\sqrt{x}$ et abs(x) pour $|x|$.
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, $a \in I$ et $f'(a)$ son nombre dérivé en $a$
L'équation de la tangente à la courbe $C_f$ en $x=a$, notée $T_a$ est : $$ T_a : y=f'(a) (x-a) + f (a)$$
On utilise le résultat de l'exercice précédent, à savoir que $f'(1) = -1$.
On calcule $f(1) = \frac{1}{1} = 1$
L'équation de la tangente en $x=1$ est :
$$
\begin{array}{lll}
T_1 : y & = & f'(1) (x-1) + f (1)\\
& = & -1 \times (x-1) + 1 \\
T_1 : y& = & -x+2
\end{array}
$$
Il n'y a plus qu'à représenter graphiquement :
- Elle est définie sur $I$
- Pour tout $a \in I$, le nombre dérivé $f '(a)$ existe
Le nombre dérivé $f '(a)$ existe si et seulement si il existe une tangente à la coube de $f$ en $x=a$. Cela se traduit aussi par le fait que la limite de $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est finie.
- La fonction $f$ est croissante sur $]a,b[$ si et seulement si $f$ est positive sur $]a,b[$
- La fonction $f$ est décroissante sur $]a,b[$ si et seulement si $f$ est négative sur $]a,b[$
- La fonction $f$ est constante sur $]a,b[$ si et seulement si $f$ est nulle sur $]a,b[$
On peut résumer la situation par un tableau de signes de $f'$ suivi d'un tableau de variations de $f$ :
$$
\begin{array}{c|lcccr|}
x & -\infty & & 0 & & +\infty\\ \hline
f' (x) & & - & 0 & + & \\ \hline
& & \searrow & & \nearrow & \\
f (x) & & & 0 & & \\
\end{array}
$$
| $f$ | $f'$ | Définie sur |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ | $nx^{x-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\frac{-1}{x^2}$ | $]-\infty;0[ \cup ]+\infty;0[$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $\frac{-2}{x^3}$ | $]-\infty;0[ \cup ]+\infty;0[$ |
| $\frac{1}{x^n}$ | $\frac{-n}{x^{n+1}}$ | $]-\infty;0[ \cup ]+\infty;0[$ où $n\geq 0$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]-\infty;0[ \cup ]+\infty;0[$ |
| $cos(x)$ | $-sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $sin(x)$ | $cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
Si ça vous étonne essayez de mettre $x^{\frac{1}{2}}$ au carré... Mais on y reviendra. Bref, il est donc conseillé de retenir en priorité ces formules !
Dans la partie précédente, on apprend seulement les dérivées de quelques fonctions. Ce sont de bonnes "briques de base" qui, en les combinant (par $+$, $\times$, $\\frac{.}{.}$) nous permettront de connaître les dérivées de beaucoup d'autres fonctions...
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel.
Alors les fonctions $u+v$, $ku$, $uv$ sont dérivables sur $I$ et $\frac{u}{v}$ aussi si $v$ ne s'annule pas :
| fonction $f$ | fonction dérivée $f'$ |
|---|---|
| $u+v$ | $u'+v'$ |
| $u-v$ | $u'-v'$ |
| $k u$ (où $k$ réel) | $k u'$ |
| $uv$ | $u'v+uv'$ |
| $\frac{u}{v}$ | $\frac{u' v - u v'}{v^2}$ |
| $\frac{1}{v}$ | $\frac{- v'}{v^2}$ |
On calcule $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
Soient $n$ un entier et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
Alors la fonctions $u^n$ est dérivable sur $I$.
Si de plus, la fonction $u$ ne s'annule pas, alors $\frac{1}{u}^n$ est dérivable.
| fonction $f$ | fonction dérivée $f'$ |
|---|---|
| $u^n$ | $n u' u^{n-1}$ |
| $\frac{1}{u^n}$ | $\frac{-nu'}{u^{n+1}}$ |
On applique la formule $\color{red}{u}^\color{blue}{n} = \color{blue}{n}\color{red}{u'}\color{red}{u}^{\color{blue}{n}-1} $ avec $\color{blue}{n} = \color{blue}{2}$ et $\color{red}{u} = \color{red}{4x+2}$.
On calcule $\color{red}{u'} = \color{red}{4}$
Et donc : $$ \begin{array}{ccl} f'(x) &=& \color{blue}{2} \times \color{red}{4} \times (\color{red}{4x+2}) ^ {\color{blue}{2} - 1} \\ f'(x) &=& 8 (4x+2) \end{array} $$
On observe bien les variations avec un minimum valant $0$ atteint en $x=\frac{-1}{2}$.
On applique la formule $\color{red}{u}^\color{blue}{n} = \color{blue}{n}\color{red}{u'}\color{red}{u}^{\color{blue}{n}-1} $ avec $\color{blue}{n} = \color{blue}{3}$ et $\color{red}{u} = \color{red}{2x+4}$.
On calcule $\color{red}{u'} = \color{red}{2}$
Et donc : $$ \begin{array}{ccl} f'(x) &=& \color{blue}{3} \times \color{red}{2} \times (\color{red}{2x+4}) ^ {\color{blue}{3} - 1} \\ f'(x) &=& 6 (2x+4)^2 \end{array} $$
On observe bien les variations avec une racine en $x=0$.
Tout d'abord, le coefficient $\color{green}{5}$ n'interviendra pas et sera conservé à chaque étape.
On applique la formule $\frac{1}{\color{red}{u}^\color{blue}{n}} = \frac{-\color{blue}{n}\color{red}{u'}}{\color{red}{u}^{\color{blue}{n}+1}} $ avec $\color{blue}{n} = \color{blue}{3}$ et $\color{red}{u} = \color{red}{2x-1}$.
On calcule $\color{red}{u'} = \color{red}{2}$
Et donc : $$ \begin{array}{ccl} f'(x) &=& \color{green}{5} \times \frac{ - \color{blue}{3} \times \color{red}{2} }{(\color{red}{2x-1}) ^ {\color{blue}{3} + 1}} \\ f'(x) &=& \frac{-30}{(2x-1)^4} \end{array} $$On prend garde aux zéros quand il y a un quotient : un zéro au numérateur annule la fonction, mais un zéro au dénominateur devient une valeur interdite.
On vérifie la cohérence du résultat en traçant la courbe :
On observe bien les variations et la valeur interdite en $x=\frac{1}{2}$.
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Alors les fonctions $cos(u)$, $sin(u)$ sont dérivables sur $I$ et $\sqrt{u}$ aussi si $u$ est positive :
| fonction $f$ | fonction dérivée $f'$ |
|---|---|
| $cos(u)$ | $-u'sin(u)$ |
| $sin(u)$ | $u'cos(u)$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
On reconnaît que $f(x) = \sqrt{u(x)}$ où :
$$ u(x)= \color{red}{a}x+b = \color{red}{3}x-5 \text{ est une fonction affine} $$La dérivée de $u$ est $u'(x) = \color{red}{3}$, donc :
La dérivée de $f$ est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, donc :
$$ \begin{array}{lll} f'(x) &=& \frac{\color{red}{3}}{2\sqrt{3x-5}} \\ \end{array} $$
On sait que $f'(x)$ est positive
On en déduit le tableau de signe de $f'$ et les variations de $f$ :
$$ \begin{array}{c|lcccr|} x & \frac{5}{3} & & +\infty\\\hline 5x-3 & 0 & + & \\ \hline f' (x) & || & + & \\ \hline & & \nearrow & \\ f (x) & 0 & & \\ \end{array} $$ Attention, la fonction $f$ est définie en $x=\frac{5}{3}$, mais pas la fonction $f'$. C'est une spécificité de la fonction racine. On vérifie graphiquement :
On reconnaît que $f(x) = cos(u(x))$ où :
$$ u(x)= \color{red}{a}x = \color{red}{2}x \text{ est une fonction lineaire} $$ La dérivée de $u$ est $u'(x)=\color{red}{2}$La dérivée de $f$ est $- u '(x)sin(u(x))$, donc :
$$ \begin{array}{lll} f'(x) &=& \color{red}{2}\times (-sin(2x)) \\ f'(x) &=& -2 sin(2x) \\ \end{array} $$On étudie le signe et les racines de $f'(x)$ sur $]-\pi;\pi]$ :
$$ \begin{array}{lll} & & -2 sin(2x) \geq 0 \\ &\Leftrightarrow & sin(2x) \leq 0 \\ &\Leftrightarrow & -\pi + \color{green}{2k \pi} \leq 2x \leq 0 + \color{green}{2k \pi} \text{ avec } k\in\mathbb{Z} \\ &\Leftrightarrow & \frac{-\pi}{2} + \color{green}{k \pi} \leq x \leq \color{green}{k \pi} \text{ avec } k\in\mathbb{Z} \\ \end{array} $$ On cherche $x$ dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$, ce qui nous donne les $k$ suivant :- $k=0$ : $\frac{-\pi}{2} \leq x \leq 0$ est inclu dans l'intervalle de définition
- $k=1$ : $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ est inclu dans l'intervalle de définition
- $k=2$ : sort de l'intervalle de définition
- $k=-1$ :$ \color{red}{\frac{-3\pi}{2}\leq x \leq -\pi}$. Sort de l'intervalle de définition
On en déduit le tableau de signe de $f'$ et les variations de $f$ (en plaçant les signes positifs pour $f'$, on en déduit les signes négatifs et les zéros) :
$$ \begin{array}{c|lcccr|} x & -\pi & & -\frac{\pi}{2} & & 0 & & \frac{\pi}{2} & & \pi \\\hline f' (x) & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & 0 \\\hline & 1 & & & & 1 & & & & 1 \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -1 & & & & -1 & & \\ \end{array} $$ On calcule les extremums : $$f(-\pi) = 1 ; f(\frac{-\pi}{2}) = -1 ; f(0) = 1 ; f(\frac{\pi}{2}) = -1 ; f(\frac{\pi}{2}) = -1 ; f(\pi) = 1 ; $$ On vérifie graphiquement :
Celui-là était un peu difficile...
Soit $f$ une fonction dérivable et définie de $J$ sur $\mathbb{R}$ et $g$ une fonction dérivable et définie de $I$ vers $J$.
Soit $h$ la fonction définie de $I$ vers $\mathbb{R}$ par : $$h(x) = f(g(x))$$
Alors $h$ est dérivable sur $I$ et : $$ h'(x) = g'(x) f'(g(x)) $$
Soit $f$ une fonction dérivable et définie de $J$ sur $\mathbb{R}$ et $g$ une fonction affine et définie par $g(x)=ax+b$ de $I$ vers $J$.
Soit $h$ la fonction définie de $I$ vers $\mathbb{R}$ par : $$h(x) = f(ax+b)$$
Alors $h$ est dérivable sur $I$ et : $$ h'(x) = a f'(ax+b) $$
